EBOB EKOK (OBEB OKEK) Hesaplama

EBOB ve EKOK nedir?

EBOB (en büyük ortak bölen), iki veya daha fazla pozitif tam sayının tamamını kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. EKOK (en küçük ortak kat) ise verilen sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır. “Pozitif” sözcüğü önemlidir: 0 bütün pozitif sayıların bir katı olsa da EKOK tanımında aranan değer en küçük pozitif ortak kattır.

Millî Eğitim Bakanlığının MEBİ EBOB–EKOK konu özetinde tanımlar, asal çarpan yöntemi ve temel özellikler birlikte verilir. Güncel 10. sınıf Matematik Sayılar teması da birden çok doğal sayının ortak bölenleri ve ortak katları arasındaki ilişkilere matematiksel muhakeme yoluyla ulaşmayı hedefler.

EBOB, OBEB, EKOK ve OKEK aynı kavramlar mı?

Türkiye’de aynı iki kavram için farklı kısaltmalar kullanılabilir:

• EBOB: En Büyük Ortak Bölen
• OBEB: Ortak Bölenlerin En Büyüğü
• EKOK: En Küçük Ortak Kat
• OKEK: Ortak Katların En Küçüğü

Dolayısıyla EBOB ile OBEB; EKOK ile OKEK arasında sonuç farkı yoktur. Arama yaparken veya eski bir kaynak incelerken iki adlandırmayla da karşılaşabilirsiniz.

EBOB EKOK hesaplama aracı nasıl kullanılır?

1. Sayı adedi alanından 2 ile 20 arasında kaç sayı kullanacağınızı seçin.
2. Açılan alanlara pozitif tam sayıları yazın. Her alana yalnız bir sayı girin.
3. Hesapla düğmesine basın.
4. Sonuç kartlarında EBOB, EKOK, ortak bölenler, ilk ortak katlar ve aralarında asal durumu gösterilir.
5. “Hesaplama adımları” bölümünden asal çarpan gösterimlerini ve ardışık EBOB/EKOK işlemlerini kontrol edin.

Form, değerlerin 2 ile 20 arasında olmasını istemez; 2 ile 20 adet sayı kabul eder. Her sayının kendi aralığı 1–1.000.000.000.000’dır.

EBOB ve EKOK nasıl hesaplanır?

Bölenleri ve katları listeleme yöntemi

Küçük sayılarda bütün pozitif bölenler yazılır ve ortak olanların en büyüğü seçilir. EKOK için sayıların pozitif katları sıralanır; listelerde ilk kez ortak görülen değer alınır. Bu yöntem kavramı anlamak için kullanışlıdır ancak büyük sayılarda veya çok sayıda girdide uzar.

Asal çarpanlara ayırma yöntemi

Sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılır. EBOB için bütün sayılarda ortak bulunan asal çarpanların en küçük üsleri; EKOK için görülen bütün asal çarpanların en büyük üsleri alınır. Üslerin nasıl çalıştığını ayrıca incelemek isterseniz Asal Çarpan Hesaplama ve Üslü Sayı Hesaplama araçlarını kullanabilirsiniz.

Öklid algoritmasıyla EBOB bulma

Öklid algoritmasında büyük sayı küçüğe bölünür; kalan ile önceki bölen yeniden işleme alınır. Kalan 0 olduğunda son sıfır olmayan kalan EBOB’dur. Örneğin 48 ve 18 için:

• 48 = 18 × 2 + 12
• 18 = 12 × 1 + 6
• 12 = 6 × 2 + 0

Bu nedenle EBOB(48,18)=6’dır. Araç da çekirdek EBOB hesabında bu hızlı ve kesin yöntemi kullanır.

18 ve 24 sayılarının EBOB ve EKOK hesabı

18 ve 24’ü asal çarpanlarına ayıralım:

• 18 = 2 × 3²
• 24 = 2³ × 3
• EBOB(18,24): 2¹ × 3¹ = 6
• EKOK(18,24): 2³ × 3² = 72

EBOB için ortak asal çarpanların küçük üsleri, EKOK için bütün asal çarpanların büyük üsleri kullanıldı. Kontrol amacıyla 6 × 72 = 432 ve 18 × 24 = 432 eşitliği görülebilir.

Üç veya daha fazla sayının EBOB ve EKOK’u

Çoklu hesapta işlem ardışık yürütülür:

• EBOB(a,b,c) = EBOB(EBOB(a,b),c)
• EKOK(a,b,c) = EKOK(EKOK(a,b),c)

Örneğin 36, 48 ve 60 için önce EBOB(36,48)=12, sonra EBOB(12,60)=12 bulunur. EKOK tarafında EKOK(36,48)=144 ve EKOK(144,60)=720 olur. Sonuç EBOB=12, EKOK=720’dir.

Sayıların sırası sonucu değiştirmez. Araç 20 girdiye kadar aynı ardışık yöntemi kullanır ve ara adımları görünür biçimde sunar.

EBOB × EKOK formülünün kapsamı

İki pozitif tam sayı için şu bağıntı geçerlidir:

EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b

Bu formül iki sayıdan biri bilinen EBOB veya EKOK değerini bulmak ve sonucu kontrol etmek için kullanılabilir. Ancak üç veya daha fazla sayının çarpımına doğrudan genellenemez. Örneğin 18, 24 ve 30 için EBOB=6, EKOK=360’tır. EBOB × EKOK=2.160 iken üç sayının çarpımı 12.960’tır. Araç bu nedenle çarpım kontrolü kartını yalnız iki sayı girildiğinde gösterir.

EBOB mu EKOK mu kullanılmalı?

• EBOB: Bir bütünü artmayacak biçimde en büyük eş parçalara ayırmak.
• EBOB: En büyük eş grup veya paket kapasitesini bulmak.
• EKOK: Tekrarlayan olayların ilk ortak zamanını bulmak.
• EKOK: Farklı uzunluktaki döngülerin en kısa ortak periyodunu bulmak.
• EKOK: Farklı paydalı kesirlerde ortak payda seçmek.

72 cm ve 96 cm uzunluğundaki iki şerit artmayacak biçimde eş ve en uzun parçalara ayrılacaksa EBOB(72,96)=24 cm kullanılır. Biri 12, diğeri 18 dakikada bir hareket eden iki araç yeniden en erken ne zaman birlikte kalkar sorusunda ise EKOK(12,18)=36 dakika bulunur. MEB’in EBOB–EKOK problemleri özetinde eş parçalara ayırma ve periyodik olay ayrımı örneklerle açıklanır.

Çözümlü EBOB problemi: en büyük eş parçalar

72 cm ve 96 cm uzunluğunda iki farklı renk kurdele, hiç parça artmayacak biçimde aynı uzunlukta ve mümkün olan en büyük parçalara ayrılacaktır. Parça uzunluğu hem 72’yi hem 96’yı bölmelidir; “mümkün olan en büyük” ifadesi EBOB’u işaret eder.

• EBOB(72,96)=24
• 72 ÷ 24 = 3 parça
• 96 ÷ 24 = 4 parça

Her kurdele parçası 24 cm olur ve toplam 7 parça elde edilir. Burada EBOB doğrudan parça sayısını değil, en büyük ortak parça uzunluğunu verir. Parça adetleri daha sonra ayrı bölme işlemleriyle bulunur.

Çözümlü EKOK problemi: ilk ortak tekrar

İki servis aracı aynı duraktan saat 08.00’de birlikte hareket ediyor. Birinci servis 12 dakikada, ikinci servis 18 dakikada bir yeniden aynı duraktan geçiyorsa ilk ortak tekrar için 12 ve 18’in en küçük pozitif ortak katı gerekir.

• 12’nin katları: 12, 24, 36, 48, …
• 18’in katları: 18, 36, 54, 72, …
• EKOK(12,18)=36

Servisler 36 dakika sonra, yani saat 08.36’da yeniden birlikte durakta olur. Başlangıç anı ortak bir an olsa da problem “yeniden” veya “ilk kez kaç dakika sonra” dediği için 0 değil, en küçük pozitif ortak süre alınır.

Aralarında asal sayılar ve EBOB 1 sonucu

İki sayının EBOB’u 1 ise bu iki sayı aralarında asaldır. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez; 8 ve 15 bileşik/asal karışık bir çift olmasına rağmen ortak pozitif bölenleri yalnız 1’dir.

Üç veya daha fazla sayıda iki farklı durum vardır. 6, 10 ve 15 sayılarının birlikte EBOB’u 1’dir; yani üçünün tamamını bölen 1’den büyük bir sayı yoktur. Fakat EBOB(6,10)=2, EBOB(6,15)=3 ve EBOB(10,15)=5 olduğundan sayılar ikişerli aralarında asal değildir. Sonuç ekranı “birlikte” ve “ikişerli” ayrımını bu nedenle ayrıca belirtir.

Özel durumlarda sonuç

• Sayılar eşitse EBOB ve EKOK sayının kendisidir.
• Sayılardan biri diğerinin tam katıysa EBOB küçük, EKOK büyük sayıdır.
• Girdilerden biri 1 ise ortak EBOB 1 olur; 1, EKOK’u büyütmez.
• İki sayı aralarında asalsa EBOB 1, EKOK sayıların çarpımıdır.
• Aynı sayıyı birden fazla kez girmek sonucu değiştirmez.

Sık yapılan EBOB ve EKOK hataları

• EBOB ile EKOK’u ters seçmek: En büyük eş parça sorusu EBOB, ilk ortak tekrar sorusu EKOK ister.
• EKOK tanımında 0’ı seçmek: Aranan değer en küçük pozitif ortak kattır.
• Asal çarpan üslerini karıştırmak: EBOB’da ortak asal çarpanların küçük, EKOK’ta bütün asal çarpanların büyük üsleri alınır.
• Çarpım bağıntısını üç sayıya uygulamak: EBOB × EKOK = sayıların çarpımı kontrolü doğrudan yalnız iki sayı içindir.
• EBOB 1 sonucunu hata sanmak: Bu sonuç geçerlidir ve sayıların birlikte aralarında asal olduğunu söyler.
• Birlikte ve ikişerli aralarında asalı aynı sanmak: 6, 10 ve 15 örneğinde ortak EBOB 1 olsa da sayı çiftlerinin EBOB’ları 1 değildir.
• EBOB’u parça adedi sanmak: EBOB çoğu bölme probleminde parça ölçüsünü verir; adet ayrıca bölme yapılarak bulunur.

Araç neden 0, negatif ve ondalık sayı kabul etmiyor?

Matematikte EBOB ve EKOK kavramları tam sayılara farklı kurallarla genişletilebilir. Örneğin EBOB(a,0)=|a| kabulü yaygındır; negatif girdilerde işaret yerine mutlak değer kullanılır. EKOK’un 0 içeren girdilerde nasıl ele alınacağı da kullanılan tanımın kapsamıyla birlikte belirtilmelidir.

Bu araç doğal sayılarla yürütülen okul problemlerinde belirsizliği önlemek için yalnız pozitif tam sayı kabul eder. 0, negatif sayı, ondalık değer ve 1e6 gibi bilimsel gösterim girilirse hesap yapılmaz. Türkçe arayüzde nokta veya virgül ondalık ayırıcı sayıldığı için bunları binlik ayırıcı olarak kullanmayın; büyük sayıyı rakamlarını bitişik yazarak girin. Yerel rakamlar ile boşluk veya Arapça binlik ayırıcı kullanılarak yapılan gruplama, giriş katmanında standart rakamlara dönüştürülebilir.

Ortak bölen ve ortak kat listesi nasıl yorumlanır?

İki veya daha fazla sayının bütün pozitif ortak bölenleri, bu sayıların EBOB’unun pozitif bölenleridir. Örneğin EBOB 6 ise ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6’dır. Ortak katların ise sonu yoktur; EKOK’un pozitif katları bütün ortak katları üretir. EKOK 72 ise ilk ortak katlar 72, 144, 216, 288 ve 360’tır.

Araç ortak bölen sayısı çok büyüdüğünde okunabilirliği korumak için listenin başını ve sonunu gösterir; toplam bölen adedini ayrıca yazar.

Büyük sayılarda hesaplama ve hassasiyet

Her giriş 1 trilyona kadar çıkabilir ve 20 sayı birlikte kullanılabilir. Böyle bir hesapta EKOK, tek tek girdilerden çok daha fazla basamağa sahip olabilir. Araç EBOB, EKOK ve büyüyebilen ara çarpımları BigInt tam sayı aritmetiğiyle saklar; bu nedenle büyük sonuçlar bilimsel gösterime çevrilmez veya yuvarlanmaz. Asal çarpan ayrıştırması ise tam sayı hassasiyetinin korunduğu 1 trilyonluk giriş sınırı içinde yürütülür.

Asal çarpan gösterimi yalnız 1 trilyon sınırındaki girdiler üzerinde hazırlanır. EKOK sonucu yüzlerce basamağa ulaşsa bile onu yeniden asal çarpanlara ayırmaya çalışmak yerine, girdilerin ayrışımları ve ardışık EKOK zinciri kullanılır. Bu yaklaşım hem okunabilirliği hem hesaplama süresini korur.

Excel’de EBOB ve EKOK hesaplama

Türkçe Microsoft Excel’de =OBEB(24;36) formülü 12, =OKEK(24;36) formülü 72 sonucunu verir. Daha fazla hücre için OBEB(A1:A20) veya OKEK(A1:A20) biçiminde bir aralık kullanılabilir. Excel’in OBEB işlevi ve OKEK işlevi sayfalarında sürüm ve bağımsız değişken ayrıntıları yer alır.

Hesap Dahi aracı, Excel’den farklı olarak girdileri ondalığa kırpmaz; ondalık değerleri açıkça reddeder ve işlem adımlarını kullanıcıya gösterir.

Sonuç nasıl doğrulanır?

EBOB sonucu girilen her sayıyı kalansız bölmelidir. EKOK sonucu da girilen her sayıya kalansız bölünmelidir. İki sayıda ek olarak EBOB × EKOK eşitliği kontrol edilebilir. Asal çarpan gösteriminde EBOB’un üsleri hiçbir girdideki ilgili üsten büyük; EKOK’un üsleri ise hiçbir girdideki ilgili üsten küçük olamaz.

Oran veya kesir sadeleştirirken ortak bölen kullanıyorsanız Oran Hesaplama aracıyla sadeleşmiş sonucu ayrıca kontrol edebilirsiniz.

Kaynaklar ve editoryal not

• MEB OGM Materyal — EBOB–EKOK kavramları ve özellikleri
• MEB OGM Materyal — EBOB–EKOK problemleri
• MEB Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli — 10. sınıf Sayılar teması

İçerik ve örnekler 28 Temmuz 2026 tarihinde bu kaynaklarla yeniden kontrol edilmiştir. Hesap motoru pozitif tam sayılarda Öklid algoritması ve tam sayı aritmetiği kullanır; 20 sayılık üst sınırda dahi ondalık yuvarlama yapmaz.